Метод моментов и метод наибольшего правдоподобия для построения точечных оценок

Точечная оценка в математической статистике - это число, вычисляемое на основе наблюдений, предположительно близкое оцениваемому параметру. Пусть - выборка из распределения, зависящего от параметра qÎ Q. Тогда статистику называют точечной оценкой параметра .

Свойства точечных оценок:

1.Оценка называется несмещённой, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

.Оценка называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных точечных оценок.

. Оценка называется состоятельной, если она по вероятности с увеличением объема выборки n стремится к параметру генеральной совокупности.

Существует несколько методов определения оценок.

Наиболее распространен метод максимального правдоподобия, теоретически обоснованный математиком Р. Фишером. Идея метода заключается в следующем. Вся получаемая в результате многократных наблюдений информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов сосредоточена в ряде наблюдений , где n - число наблюдений. Их можно рассматривать как n независимых случайных величин с одной и той же дифференциальной функцией распределения . Вероятность получения в эксперименте некоторого результата , лежащего в интервале , где - некоторая малая величина, равна соответствующему элементу вероятности .

Независимость результатов наблюдений позволяет найти априорную вероятность появления одновременно всех экспериментальных данных, т.е. всего ряда наблюдений как произведение этих вероятностей:

Если рассматривать Q и как неизвестные параметры распределения, то, подставляя различные значения Q и в эту формулу, мы будем получать различные значения вероятности при каждом фиксированном ряде наблюдений . При некоторых значениях и вероятность получения экспериментальных данных достигает наибольшего значения. В соответствии с методом максимального правдоподобия именно эти значения и принимаются в качестве точечных оценок истинного значения и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений. Таким образом, метод максимального правдоподобия сводится к отысканию таких оценок и , при которых функция правдоподобия достигает наибольшего значения. Постоянный сомножитель не оказывает влияния на решение и поэтому может быть отброшен. Полученные оценки и истинного значения и среднеквадратического отклонения называются оценками максимального правдоподобия.

Другие статьи

Уровень и качество жизни населения как основные критерии устойчивого социально-экономического развития общества в Республике Беларусь
Уровень жизни (благосостояние) населения - сложное социально - экономическое понятие. Знания об уровне жизни всего дает анализ условий (потребностей), удовлетворение которых необходимо для жизнедеятельности. Важнейшие среди них (первая группа потребностей) - питание, потребление одежд ...